黎曼积分，所说的正常积分、定积分，是黎曼积分首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义，提出者是黎曼。

　　概念

　　作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分

　　对于一在区间[a,b]{⁄displaystyle ⁄lbrack a,b⁄rbrack }上之给定非负函数f(x){⁄displaystyle f(x)}，我们想要确定f(x){⁄displaystyle f(x)}所代表的曲线与X{⁄displaystyle X}坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为

　　黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时请注意，如f(x){⁄displaystyle f(x)}取负值，则相应的面积值S{⁄displaystyle S}亦取负值。

　　一列黎曼和。右上角的数字表示矩形面积总和。这列黎曼和趋于一个定值，记为此函数的黎曼积分。

　　定义

　　区间的分割

　　一个闭区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列a=x0=max(xi+1− − -->xi){⁄displaystyle ⁄lambda =⁄max(x_{i+1}-x_{i})}，其中0≤ ≤ -->i≤ ≤ -->n− − -->1{⁄displaystyle 0⁄leq i⁄leq n-1}。

　　再定义取样分割。一个闭区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}的一个取样分割是指在进行分割a=x0xi+1{⁄displaystyle x_{i}⁄leq t_{i}⁄leq x_{i+1}}。λ λ -->{⁄displaystyle ⁄lambda }的定义同上。

　　精细化分割：设x0,… … -->,xn{⁄displaystyle x_{0},⁄ldots ,x_{n}}以及t0,… … -->,tn− − -->1{⁄displaystyle t_{0},⁄ldots ,t_{n-1}}构成了闭区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}的一个取样分割，y0,… … -->,ym{⁄displaystyle y_{0},⁄ldots ,y_{m}}和s0,… … -->,sm− − -->1{⁄displaystyle s_{0},⁄ldots ,s_{m-1}}是另一个分割。如果对于任意0≤ ≤ -->i≤ ≤ -->n{⁄displaystyle 0⁄leq i⁄leq n}，都存在r(i){⁄displaystyle r(i)}使得xi=yr(i){⁄displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}，并存在r(i)≤ ≤ -->j≤ ≤ -->r(i+1){⁄displaystyle r(i)⁄leq j⁄leq r(i+1)}使得ti=sj{⁄displaystyle t_{i}=s_{j}}，那么就把分割：y0,… … -->,ym{⁄displaystyle y_{0},⁄ldots ,y_{m}}、s0,… … -->,sm− − -->1{⁄displaystyle s_{0},⁄ldots ,s_{m-1}}称作分割x0,… … -->,xn{⁄displaystyle x_{0},⁄ldots ,x_{n}}、t0,… … -->,tn− − -->1{⁄displaystyle t_{0},⁄ldots ,t_{n-1}}的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

　　于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

　　黎曼和

　　对一个在闭区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}有定义的实值函数f{⁄displaystyle f}，f{⁄displaystyle f}关于取样分割x0,… … -->,xn{⁄displaystyle x_{0},⁄ldots ,x_{n}}、t0,… … -->,tn− − -->1{⁄displaystyle t_{0},⁄ldots ,t_{n-1}}的黎曼和定义为以下和式：

　　和式中的每一项是子区间长度xi+1− − -->xi{⁄displaystyle x_{i+1}-x_{i}}与在ti{⁄displaystyle t_{i}}处的函数值f(ti){⁄displaystyle f(t_{i})}的乘积。直观地说，就是以标记点ti{⁄displaystyle t_{i}}到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

　　黎曼积分

　　不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。

　　要使得“越来越‘精细’”有效，需要把λ λ -->{⁄displaystyle ⁄lambda }趋于0。如此[xi,xi+1]{⁄displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}中的函数值才会与f(ti){⁄displaystyle f(t_{i})}接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

　　严格定义如下：S{⁄displaystyle S}是函数f{⁄displaystyle f}在闭区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ϵ ϵ -->>0{⁄displaystyle ⁄epsilon >0}，都存在δ δ -->>0{⁄displaystyle ⁄delta >0}，使得对于任意的取样分割x0,… … -->,xn{⁄displaystyle x_{0},⁄ldots ,x_{n}}、t0,… … -->,tn− − -->1{⁄displaystyle t_{0},⁄ldots ,t_{n-1}}，只要它的子区间长度最大值λ λ -->≤ ≤ -->δ δ -->{⁄displaystyle ⁄lambda ⁄leq ⁄delta }，就有：

　　也就是说，对于一个函数f{⁄displaystyle f}，如果在闭区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f{⁄displaystyle f}的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f{⁄displaystyle f}在闭区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f{⁄displaystyle f}为黎曼可积的。

　　这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有λ λ -->≤ ≤ -->δ δ -->{⁄displaystyle ⁄lambda ⁄leq ⁄delta }的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。

　　另一个定义: S{⁄displaystyle S}是函数f{⁄displaystyle f}在闭区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ϵ ϵ -->>0{⁄displaystyle ⁄epsilon >0}，都存在一个取样分割x0,… … -->,xn{⁄displaystyle x_{0},⁄ldots ,x_{n}}、t0,… … -->,tn− − -->1{⁄displaystyle t_{0},⁄ldots ,t_{n-1}}，使得对于任何比其“精细”的分割y0,… … -->,ym{⁄displaystyle y_{0},⁄ldots ,y_{m}} and s0,… … -->,sm− − -->1{⁄displaystyle s_{0},⁄ldots ,s_{m-1}}，都有：

　　这两个定义是等价的。如果有一个S{⁄displaystyle S}满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S{⁄displaystyle S}满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值λ λ -->≤ ≤ -->δ δ -->{⁄displaystyle ⁄lambda ⁄leq ⁄delta }的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于δ δ -->{⁄displaystyle ⁄delta }，于是满足

　　其次证明满足第二个定义的S{⁄displaystyle S}也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割x0,… … -->,xn{⁄displaystyle x_{0},⁄ldots ,x_{n}}使得它的上达布和与下达布和都与S{⁄displaystyle S}相差不超过ϵ ϵ -->2{⁄displaystyle {⁄frac {⁄epsilon }{2}}}。令r{⁄displaystyle r}等于max0≤ ≤ -->i≤ ≤ -->n− − -->1(Mi− − -->mi){⁄displaystyle ⁄max _{0⁄leq i⁄leq n-1}(M_{i}-m_{i})}，其中Mi{⁄displaystyle M_{i}}和mi{⁄displaystyle m_{i}}是f{⁄displaystyle f}在[xi,xi+1]{⁄displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}上的上确界和下确界。再令δ δ -->{⁄displaystyle ⁄delta }是ϵ ϵ -->2rn{⁄displaystyle {⁄frac {⁄epsilon }{2rn}}}和min0≤ ≤ -->i≤ ≤ -->n− − -->1(xi+1− − -->xi){⁄displaystyle ⁄min _{0⁄leq i⁄leq n-1}(x_{i+1}-x_{i})}中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于δ δ -->{⁄displaystyle ⁄delta }时，f{⁄displaystyle f}关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差ϵ ϵ -->2{⁄displaystyle {⁄frac {⁄epsilon }{2}}}，所以和S{⁄displaystyle S}至多相差ϵ ϵ -->{⁄displaystyle ⁄epsilon }。

　　由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分(即第二个定义)，因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

　　黎曼积分的性质

　　线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果f{⁄displaystyle f}和g{⁄displaystyle g}在区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上黎曼可积，α α -->{⁄displaystyle ⁄alpha }和β β -->{⁄displaystyle ⁄beta }是常数，则：

　　由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射I:f⟶ ⟶ -->∫ ∫ -->abfdx{⁄displaystyle I:f⁄longrightarrow ⁄int _{a}^{b}fdx}是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。

　　正定性：如果函数f{⁄displaystyle f}在区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上几乎处处(勒贝格测度意义上)大于等于0，那么它在[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上的积分也大于等于零。如果f{⁄displaystyle f}在区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上几乎处处大于等于0，并且它在[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上的积分等于0，那么f{⁄displaystyle f}几乎处处为0。

　　可加性：如果函数f{⁄displaystyle f}在区间[a,c]{⁄displaystyle [a,c]}和[c,b]{⁄displaystyle [c,b]}上都可积，那么f{⁄displaystyle f}在区间[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上也可积，并且有

　　无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。

　　[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上的实函数f{⁄displaystyle f}是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。

　　如果[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。

　　如果fn{⁄displaystyle {f_{n}}}是[a,b]{⁄displaystyle [a,b]}上的一个一致收敛序列，其极限为f{⁄displaystyle f}，那么：

　　如果一个实函数在区间[a,b],{⁄displaystyle [a,b],}上是单调的，则它是黎曼可积的，因为其中不连续的点集是可数集。

　　黎曼积分的推广

　　黎曼积分可推广到值属于n{⁄displaystyle n}维空间Rn{⁄displaystyle ⁄mathbb {R} ^{n}}的函数。积分是线性定义的，即如果f=(f1,… … -->,fn){⁄displaystyle ⁄mathbf {f} =(f_{1},⁄dots ,f_{n})}，则∫ ∫ -->f=(∫ ∫ -->f1,… … -->,∫ ∫ -->fn){⁄displaystyle ⁄int ⁄mathbf {f} =(⁄int f_{1},⁄,⁄dots ,⁄int f_{n})}。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。

　　黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分(improper integral)一样。我们可以令

　　不幸的是，这并不是很合适。平移不变性(如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变)丧失了。例如，令f(x)=1{⁄displaystyle f(x)=1}若x>0{⁄displaystyle x>0}，f(0)=0{⁄displaystyle f(0)=0}，f(x)=− − -->1{⁄displaystyle f(x)=-1}若x<0{⁄displaystyle x<0}。则对所有x{⁄displaystyle x}

　　但如果我们将f(x){⁄displaystyle f(x)}向右平移一个单位得到f(x− − -->1){⁄displaystyle f(x-1)}，则对所有x>1{⁄displaystyle x>1}，我们得到

　　由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：

　　此时，如果尝试对上面的f{⁄displaystyle f}积分，我们得到+∞ ∞ -->{⁄displaystyle +⁄infty }，因为我们先使用了极限b→ → -->∞ ∞ -->{⁄displaystyle b⁄to ⁄infty }。如果使用相反的极限顺序，我们得到− − -->∞ ∞ -->{⁄displaystyle -⁄infty }。

　　这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令fn(x)=1/n{⁄displaystyle f_{n}(x)=1/n}在[0,n]{⁄displaystyle [0,n]}上，其它域上等于0。对所有n{⁄displaystyle n}，∫ ∫ -->fndx=1{⁄displaystyle ⁄int f_{n}⁄,dx=1}。但fn{⁄displaystyle f_{n}}一致收敛于0，因此limfn{⁄displaystyle ⁄lim f_{n}}的积分是0。因此∫ ∫ -->fdx≠lim∫ ∫ -->fndx{⁄displaystyle ⁄int f⁄,dx⁄not =⁄lim ⁄int f_{n}⁄,dx}。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。

　　一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

　　事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。

　　扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子xi− − -->xi+1{⁄displaystyle x_{i}-x_{i+1}}，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

　　相关条目

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　　参考文献

　　Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.