圆周率是表示圆的周长与直径比值的数学常数，用希腊字母π表示。
简介
π也等于圆形之面积与半径平方之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里，π可以严格地定义为满足sinx=0的最小正实数x。
圆周率用希腊字母π(读作pài)表示，是一个常数(约等于3.141592653)，是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数3.141592653便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。
1965年，英国数学家约翰·沃利斯(John Wallis)出版了一本数学专著，其中他推导出一个公式，发现圆周率等于无穷个分数相乘的积。2015年，罗切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了圆周率相同的公式。
2019年3月14日，谷歌宣布圆周率现已到小数点后31.4万亿位。
历史发展
实验时期
一块古巴比伦石匾(约产于公元前1900年至公元前1600年)清楚地记载了圆周率=25/8=3.125。同一时期的古埃及文物，莱因德数学纸草书(Rhind Mathematical Papyrus)也表明圆周率等于分数16/9的平方，约等于3.1605。埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。英国作家John Taylor(1781—1864)在其名著《金字塔》(《The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》)中指出，造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》(Satapatha Brahmana)显示了圆周率等于分数339/108，约等于3.139。
几何法时期
古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287年—公元前212年)开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71和22/7，并取它们的平均值3.141851为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻祖。
中国古算书《周髀算经》(约公元前2世纪)的中有“径一而周三”的记载，意即取Π=3。
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192边形。他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这包含了求极限的思想。刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值，刘徽在得圆周率=3.14之后，将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率3.1416.
公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。密率是个很好的分数近似值，要取到52163/16604才能得出比355/113略准确的近似。
在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。其中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托(Valentinus Otho)得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯(Metius)的著作中，欧洲称之为Metius' number。
约在公元530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为根号9.8684。婆罗摩笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10的算术平方根。
阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家鲁道夫·范·科伊伦(Ludolph van Ceulen)于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。
分析法时期
这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π，摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，使得π值计算精度迅速增加。
第一个快速算法由英国数学家梅钦(John Machin)提出，1706年梅钦计算π值突破100位小数大关，他利用了如下公式：Π/4=4arctan1/5-arctan1/239
其中arctanx可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。
斯洛文尼亚数学家Jurij Vega于1789年得出π的小数点后首140位，其中只有137位是正确的。这个世界纪录维持了50年。他利用了梅钦于1706年提出的数式。
到1948年英国的弗格森(D. F. Ferguson)和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。
计算机时代
电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年，美国制造的世上首部电脑——ENIAC(ElectronicNumerical Integrator And Computer)在阿伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，IBM NORC(海军兵器研究计算机)只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在20世纪60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。
在1976年，新的突破出现了。萨拉明(Eugene Salamin)发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不可行的。这算法被称为布伦特-萨拉明(或萨拉明-布伦特)演算法，亦称高斯-勒让德演算法。
1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷-2型(Cray-2)和IBM-3090/VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数。2010年1月7日——法国工程师法布里斯·贝拉将圆周率算到小数点后27000亿位。2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合，计算出圆周率到小数点后5万亿位。
2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。56岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机，从10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪录。
用梅钦公式编程计算圆周率(C++)
#include#includeusingnamespacestd;intmain(void){//本程序为每四位数输出，如果请求计算的位数不是4的整数倍，最后输出可能会少1~3位数longa[2]={956,80},b[2]={57121,25},i=0,j,k,p,q,r,s=2,t,u,v,N,M=10000;printf("%9cMachin%6cpi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239) Please input a number. ",32,32);cin>>N,N=N/4+3;long*pi=newlong[N],*e=newlong[N];while(i
用级数编程计算圆周率(C++)
#include#includeusingnamespacestd;intmain(void){longb=1000,c=200,d=0,e,f,i=0,N;cout<>N,N=N*10/3+20;long*a=newlong[N+1];while(i0;printf("%03ld",d+=(c+=e/b)/b),d=c%b,c=e%b)for(e=0,i=N;--i;a[i]=(e+=a[i]*b)%(f=i*2+1),e=e/f*i);delete[]a,cin.ignore(),cin.ignore();return0;}
特性和相关公式
代数
π是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由朗伯于1761年证明的。1882年，林德曼更证明了π是超越数，即不可能是任何有理数多项式的根。
圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数，而超越数不是代数数。
数学分析
π有个特别的连分数表示式：
π本身的连分数表示式(简写)为[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分给出的首三个渐近分数，第一个和第三个渐近分数即为约率和密率的值。数学上可以证明，这样得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，其值是最接近精确值的近似值。
欧拉恒等式
任何复数(Complex Number)(以z为例)都可以表示为一组实数(Real Number)对：在极坐标系(Polar Coordinate System)中，一个实数r——半径(Radius)代表复平面(Complex Plane)上复数z离原点(Origin)的距离，另一个实数φ——夹角表示这条半径(复平面上复数z与原点的连线)与正实轴经顺时针转动的夹角。
在复分析(Complex Analysis)中，欧拉公式(Euler's Formula)联系着三角函数(Trigonometric Function)与复指数函数(Exponential Function)。
欧拉公式确立了e的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆(Unit Circle)上的点之间的关系，而且当我们令 φ=π时，欧拉公式就能改写为欧拉恒等式(Euler's Identity)的形式：
方程z=1共有n不同的复数根，这些根被称为“n次单位根(Root of Unity)”。
蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法(Monte Carlo Methods)是以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法，通过进行大量重复试验计算事件发生的频率，利用当试验次数充分大时频率充分地接近于概率可以求得π的近似值。布丰投针问题(Buffon's Needle)就是其中一个应用的例子：当一枚长度为ℓ的针随机地往一个画满间距为t(ℓ≤t)的平行线的平面上抛掷n次，如果针与平行直线相交了m次，那么当n充分大时就可根据以下公式算出π的近似值。
另一个利用蒙特卡罗方法计算π值的例子是随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点，落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似等于π/4。
高精度π的应用
一般工程或天文运算不需要成千上万位精确度的π，因为四十位精确度的π在计算银河系大小的圆周时，其误差已经小于一个质子。现今精度高π应用于计算机软硬件的测试，以不同的算法计算π而结果误差大代表计算机系统可能出问题。
采用π为符号
现时所知，最早使用希腊字母π代表圆周率，是威尔士数学家威廉·琼斯的1706年著作《Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics》。书中首次出现希腊字母π，是讨论半径为1的圆时，在短语“1/2Periphery(π)”之中。他选用π，或许由于π是periphery(周边)的希腊语对应单词 περιφέρεια的首字母。
然而，其他数学家未立刻跟从，有时数学家会用c，p等字母代表圆周率。将π的这个用法推广出去的，是数学家欧拉。他在1736年的著作《Mechanica》开始使用π。因为欧拉与欧洲其他数学家通信频繁，这样就把π的用法迅速传播。1748年，欧拉在广受阅读的名著《无穷小分析引论》(Introductio in analysin infinitorum)使用π。他写道：“为简便故，我们将这数记为π，因此π=半径为1的圆的半周长，换言之π是180度弧的长度。”于是π就在西方世界得到普遍接受。
背诵
世界记录是100,000位，由日本人原口证于2006年10月3日背诵。
普通话用谐音记忆的有“山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐”，就是3.1415926535897932384626。另一谐音为：“山巅一石一壶酒，二妞舞扇舞，把酒沏酒搧又搧，饱死啰”，就是3.14159265358979323846。
在英文，会使用英文字母的长度作为数字，例如“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of the geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.”就是3.1415926535897932384626433832795。
数学外的用途
在Google公司2005年的一次公开募股中，集资额不是通常的整头数，而是$14,159,265，这当然是由π小数点后的位数得来。(顺便一提，谷歌公司2004年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数 e有关)
排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.14159265
3月14日为美国所订的圆周率日。
